Mening kartalarim kartalar

Tub son — 1 dan katta, bo‘luvchilari faqat 1 va o‘zi bo‘lgan natural son, murakkab son esa kamida 3 ta bo‘luvchiga ega son. 1 tub ham, murakkab ham emasligini bilish tub ko‘paytuvchilarga ajratish va bo‘luvchilarga oid masalalarni to‘g‘ri yechishga kirishishga yordam beradi.

Daraja bir xil son yoki harfning takroriy ko‘paytmasini asos va daraja ko‘rsatkichi yordamida qisqa yozish usulidir. U tub ko‘paytuvchilarga ajratish natijasini qisqa yozish uchun zarur. Daraja ko‘rsatkichi ko‘paytuvchilar sonini bevosita ko‘rsatgani uchun hisoblash osonlashadi.

Tub ko‘paytuvchilarga ajratish — 1 dan katta natural sonni faqat tub ko‘paytuvchilar ko‘paytmasi shaklida ifodalashdir. Ko‘paytirish tartibi hisobga olinmasa, ajratish natijasi yagona bo‘ladi. Shu sababli u bo‘luvchilarni, natural sonlarning kvadratlarini, eng katta umumiy bo‘luvchini va eng kichik umumiy karralini topish uchun asos bo‘ladi.

Eng katta umumiy bo‘luvchi ikki yoki undan ortiq natural sonning umumiy bo‘luvchilari orasidagi eng katta son bo‘lib, barcha umumiy bo‘luvchilar eng katta umumiy bo‘luvchining bo‘luvchilaridir. Sonlarni tub ko‘paytuvchilarga ajratgandan so‘ng umumiy tub ko‘paytuvchilarning har birini kichik daraja ko‘rsatkichi bilan olib, ko‘paytirish kerak. Shu sababli bu usul teng taqsimlash masalalarida ko‘p ishlatiladi.

Eng kichik umumiy karrali ikki yoki undan ortiq natural sonning umumiy karralilari orasidagi eng kichik son bo‘lib, barcha umumiy karralilar eng kichik umumiy karralining karralilaridir. Tub ko‘paytuvchilarga ajratgandan keyin har bir tub ko‘paytuvchining kattaroq daraja ko‘rsatkichini tanlab, barchasini ko‘paytirish kerak, shuning uchun bu usul bir vaqtda jo‘nash haqidagi masalalarda ko‘p qo‘llanadi.

Musbat butun sonlar, 0 va manfiy butun sonlar birgalikda butun sonlar deb ataladi. Ratsional sonlar esa surati va maxraji butun sonlardan iborat kasr ko‘rinishida ifodalash mumkin bo‘lgan sonlardir. Sonlarning tasnifini bilish berilgan sonlar orasidan butun sonlarni yoki butun bo‘lmagan ratsional sonlarni tanlashga doir masalalarni to‘g‘ri yechishga yordam beradi.

Son o‘qida to‘g‘ri chiziq ustidagi 0 sanoq boshi qilib tanlanadi va teng oraliqlarda o‘ng tomonga musbat sonlar, chap tomonga manfiy sonlar mos qo‘yiladi. Har bir ratsional sonni nuqta bilan tasvirlash mumkin, shu sababli son o‘qi sonlarni taqqoslash va ularning modullarini ko‘rgazmali ravishda aniqlashga yordam beradi.

Sonning moduli son o‘qida shu sonni ifodalovchi nuqta bilan sanoq boshi orasidagi masofadir. Masofa bo‘lgani uchun u har doim 0 dan katta yoki unga teng bo‘ladi. Moduli bir xil bo‘lgan sonlar sanoq boshining ikki tomonida bir xil masofada joylashgan ikkita son ekani masalalarda ko‘p qo‘llanadi.

Son o‘qida son qancha o‘ngroqda joylashgan bo‘lsa, shuncha katta bo‘ladi. Musbat sonning moduli qancha katta bo‘lsa, son shuncha katta bo‘ladi, manfiy sonning moduli qancha katta bo‘lsa, son shuncha kichik bo‘ladi. Buni oraliqlarni tengsizlik belgilari yordamida ifodalash bilan birga o‘rgansangiz, berilgan shartlarni qanoatlantiruvchi butun sonlarni sanashga oid masalalarni oson yecha olasiz.

Bir xil ishorali ikki sonni qo‘shishda ularning modullari yig‘indisiga umumiy ishora qo‘yiladi. Har xil ishorali ikki sonni qo‘shishda ularning modullari ayirmasiga moduli katta sonning ishorasi qo‘yiladi. Ayiriluvchi sonning ishorasini o‘zgartirib, ayirishni qo‘shishga aylantirish mumkin, shuning uchun o‘rin almashtirish va guruhlash qonunlari yordamida hisoblashlarni guruhlash mumkin.

Ishoralari bir xil bo‘lgan ikki sonning ko‘paytmasi va bo‘linmasi musbat, ishoralari turlicha bo‘lgan ikki sonniki esa manfiy bo‘ladi. Bo‘lish teskari songa ko‘paytirish bilan almashtirib hisoblanadi. Darajalar, qavslar va to‘rt arifmetik amal aralashgan ifodaning to‘g‘ri qiymatini olish uchun amallar tartibiga rioya qilish kerak.

Harfli ifodada qiymati aniqlanmagan miqdorlar harflar bilan belgilanadi va ular orasidagi munosabatlar ifoda orqali ko‘rsatiladi. Ko‘paytirish va bo‘lish belgilarini yozmaslik qoidalarini o‘rgansangiz, tezlik, konsentratsiya va narx kabi amaliy masalalarning ifodalarini ixcham yozishingiz mumkin.

Ifodaning qiymati harflar o‘rniga berilgan sonlarni qo‘yib hisoblash orqali topiladi. Manfiy sonni qo‘yishda ishora xatolarining oldini olish uchun albatta qavslardan foydalanish kerak. Shu o‘rniga qo‘yish jarayoni tenglama yechimini tekshirishda ham qo‘llanadi.

Had, ozod had, koeffitsiyent va daraja tushunchalarini o‘rganing. Bir yoki bir nechta hadning yig‘indisidan iborat ifoda ko‘phad deb ataladi. Eng yuqori darajali hadining darajasi 1 bo‘lgan ko‘phad chiziqli ifoda deb ataladi va chiziqli tenglamalarni tuzish hamda yechish uchun asos bo‘ladi.

O‘xshash hadlarning harflari va mos harflarning darajalari bir xil bo‘ladi. O‘zgarmas hadlar ham o‘zaro o‘xshash hadlardir. Faqat o‘xshash hadlarning koeffitsiyentlarini qo‘shish yoki ayirish orqali ularni bitta hadga birlashtirish mumkin, shuning uchun o‘xshash hadlarni ixchamlash ifodalarni soddalashtirishga oid barcha hisoblashlarning asosidir.

Chiziqli ifodalarni qo‘shish va ayirish uchun taqsimot qonuni yordamida qavslar ochiladi, so‘ng o‘xshash hadlar birlashtiriladi. Qavs oldida manfiy son bo‘lsa, qavs ichidagi barcha hadlarning ishorasi o‘zgaradi. Eng ko‘p xatolar shu bosqichda yuz beradi.

Tenglama noma’lumning qiymatiga qarab rost yoki yolg‘on bo‘lishi mumkin bo‘lgan tenglik, ayniyat esa noma’lumning istalgan qiymatida doimo rost bo‘ladigan tenglikdir. Shartlarni aniqlashga doir masalalarda chap va o‘ng tomonlar soddalashtirilgandan keyin bir xil bo‘lsa, tenglik ayniyat bo‘lishidan ko‘p foydalaniladi.

Tenglikning ikkala tomoniga bir xil son qo‘shilsa, ikkala tomonidan bir xil son ayirilsa, ikkala tomoni bir xil songa ko‘paytirilsa yoki ikkala tomoni 0 dan farqli bir xil songa bo‘linsa, tenglik saqlanadi. Bu xossalar tenglamani x=(son) ko‘rinishiga keltirishga imkon beradi va koeffitsiyentlarni butun sonlarga aylantirish uchun ham asos bo‘ladi.

Hadlarni ko‘chirishda tenglik xossalaridan foydalanib, bir tomondagi had ishorasi o‘zgartirilgan holda ikkinchi tomonga o‘tkaziladi. O‘zgaruvchili hadlarni chap tomonga, o‘zgarmas hadlarni esa o‘ng tomonga yig‘ish orqali chiziqli tenglamani tezda ax=b ko‘rinishiga keltirish mumkin.

일차방정식은 모든 항을 좌변으로 이항해 정리했을 때 (일차식)=0 꼴이 되는 방정식이에요. 괄호를 풀고 이항해 ax=b 꼴로 만든 뒤 양변을 a로 나누면 해를 구할 수 있어요.

Chiziqli tenglamani qo‘llash izlanayotgan miqdorni noma’lum deb olish, masala shartlari asosida tenglama tuzish va uni yechishni anglatadi. Oxirida topilgan yechim buyumlar soni yoki yosh kabi natural son bo‘lishi kerakligini va masala shartiga mos kelishini albatta tekshirish kerak.

Koordinata tekisligi koordinatalar boshida perpendikulyar kesishadigan x va y o‘qlaridan iborat. Undagi nuqta tartiblangan juftlik (x koordinata, y koordinata) orqali ifodalanadi. Tartib o‘zgarsa, boshqa nuqta hosil bo‘ladi, shuning uchun koordinatalarni o‘qish va yozishda to‘g‘ri tartibga qat’iy rioya qilish kerak.

Koordinata o‘qlari koordinata tekisligini to‘rt qismga ajratadi. Yuqori o‘ng qismdan boshlab soat miliga qarshi yo‘nalishda ular 1, 2, 3, 4 choraklar deb ataladi. Koordinata o‘qlaridagi nuqtalar hech bir chorakka tegishli emasligi masalalarda ko‘p uchraydi.

Grafik ikki o‘zgaruvchi orasidagi bog‘lanishni tartiblangan juftliklar orqali koordinata tekisligida nuqtalar yoki chiziqlar bilan ifodalaydi. Maktab imtihonlarida o‘sish, kamayish va o‘zgarish bo‘lmagan oraliqlarni o‘qib, haqiqiy vaziyatlarni talqin qilishga oid masalalar ko‘p uchraydi.

To‘g‘ri proporsionallik x ning qiymati 2 marta yoki 3 marta ortganda, y ning qiymati ham mos ravishda 2 marta yoki 3 marta ortadigan bog‘lanish bo‘lib, y=ax ko‘rinishida ifodalanadi. Uning grafigi koordinatalar boshidan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqdir: a>0 bo‘lsa, o‘ngga qarab yuqoriga, a<0 bo‘lsa, o‘ngga qarab pastga yo‘naladi.

Teskari proporsionallik — x qiymati 2 marta, 3 marta oshganda, y qiymati boshlang‘ich qiymatining mos ravishda 1/2 va 1/3 qismiga teng bo‘ladigan bog‘lanish bo‘lib, y=a/x ko‘rinishida ifodalanadi. Uning grafigi koordinata o‘qlariga yaqinlashadigan bir juft silliq egri chiziqdan iborat. Ular joylashgan choraklar a ning ishorasiga qarab o‘zgaradi.

Vertikal burchaklar ikki to‘g‘ri chiziq bir nuqtada kesishganda hosil bo‘ladigan to‘rt burchak orasidagi bir-biriga qarama-qarshi joylashgan ikki burchakdir. Vertikal burchaklarning kattaliklari doimo teng va ikki qo‘shni burchakning yig‘indisi 180° bo‘ladi, shuning uchun bu xossalar kesishuvchi to‘g‘ri chiziqlar hosil qilgan burchaklarni topishning asosidir.

Mos burchaklar bir xil nisbiy o‘rinda joylashgan ikki burchakdir. Ichki almashinuvchi burchaklar esa ikki to‘g‘ri chiziq orasida, kesuvchining qarama-qarshi tomonlarida joylashgan ikki burchakdir. Burchaklarning o‘rnini to‘g‘ri aniqlash parallel to‘g‘ri chiziqlarning xossalarini qo‘llash imkonini beradi, shuning uchun burchaklarga doir masalalarni yechish shundan boshlanadi.

Ikki parallel to‘g‘ri chiziqni boshqa bir to‘g‘ri chiziq kesib o‘tsa, mos burchaklar va ichki almashinuvchi burchaklarning o‘lchovlari tegishlicha teng bo‘ladi. Aksincha, mos burchaklar yoki ichki almashinuvchi burchaklar teng bo‘lsa, ikki to‘g‘ri chiziq parallel bo‘ladi. Siniq chiziqlar yoki qog‘ozni buklash bilan bog‘liq burchak masalalarining barchasi shu xossalarga asoslanadi.

Uchburchakning istalgan bir tomoni uzunligi har doim qolgan ikki tomoni uzunliklarining yig‘indisidan kichik bo‘ladi. Uchta kesmadan uchburchak hosil qilish uchun bu shart bajarilishi kerak. Shu sababli u uchburchak yasashda va tomon uzunligining mumkin bo‘lgan qiymatlari oralig‘ini topishga doir masalalarda qo‘llanadi.

Uchburchak yasash deganda faqat bo‘linmalari yo‘q chizg‘ich va sirkul yordamida uchburchak chizish tushuniladi. Uchta tomon, ikkita tomon va ular orasidagi burchak yoki bitta tomon va uning uchlaridagi burchaklar berilsa, uchburchak bir qiymatli aniqlanadi. Bu uch holat bevosita uchburchaklarning tenglik alomatlariga mos keladi.

Ikki uchburchakning uchta mos tomoni teng bo‘lsa, yoki ikkita mos tomoni va ular orasidagi burchagi teng bo‘lsa, yoki bitta mos tomoni va unga yopishgan ikkita burchagi teng bo‘lsa, uchburchaklar teng bo‘ladi. Teng shakllarning mos tomonlari va mos burchaklari teng bo‘lgani uchun bu uzunliklar va burchaklarni topish yoki isbotlashga asos bo‘ladi.

Ko‘pburchak bir nechta kesma bilan chegaralangan tekis shakl, diagonal esa qo‘shni bo‘lmagan ikki uchni tutashtiruvchi kesmadir. n burchakli ko‘pburchakning diagonallari sonini formula yordamida bevosita topish mumkin, shuning uchun bu formula diagonallari soniga qarab ko‘pburchakni aniqlash masalalarida qo‘llanadi.

Uchburchakning uchta ichki burchagi yig‘indisi 180° ga teng, tashqi burchagi esa unga qo‘shni bo‘lmagan ikkita ichki burchak yig‘indisiga teng. Tashqi burchak xossasidan foydalanib, murakkab shakldagi burchaklarni bitta uchburchakka keltirish va ularning kattaliklarini tez topish mumkin.

n burchakning bir uchidan diagonallar o‘tkazib, uni (n-2) ta uchburchakka ajratish mumkin, shuning uchun uning ichki burchaklari yig‘indisi 180°×(n-2) ga teng. Muntazam ko‘pburchakda bu qiymatni n ga bo‘lish orqali bitta ichki burchakning kattaligi topiladi.

Ko‘pburchakning har bir uchida ichki va tashqi burchaklar yig‘indisi 180° ga teng. Shuning uchun umumiy yig‘indidan ichki burchaklar yig‘indisini ayirsak, tomonlar sonidan qat’i nazar, tashqi burchaklar yig‘indisi 360° bo‘ladi. Bu muntazam ko‘pburchakning bitta tashqi burchagi o‘lchovini yoki tomonlari sonini topishning eng tez usulidir.

Yoy, vatar, kesuvchi, sektor va segment tushunchalarining ma’nosini o‘rganing. Bir doirada sektor yoyining uzunligi va yuzi markaziy burchakning kattaligiga to‘g‘ri proporsional. Vatar uzunligi markaziy burchakka to‘g‘ri proporsional emasligi maktab imtihonlaridagi chalg‘ituvchi savollarda tez-tez uchraydi.

Radiusi r va markaziy burchagi x° bo‘lgan sektorning yoy uzunligi va yuzi mos ravishda aylana uzunligi va doira yuzini x/360 ga ko‘paytirish orqali topiladi. Yuzni faqat radius va yoy uzunligi yordamida ham topish mumkin, bu konusning yon sirti yuzini hisoblashda ham qo‘llanadi.

Ko‘pyoq faqat ko‘pburchak shaklidagi yoqlar bilan chegaralangan fazoviy shakldir. Prizma, piramida va kesik piramida uning asosiy misollaridir. Asosning shaklini bilsangiz, yoqlar, qirralar va uchlar sonini formulalar bilan ifodalash mumkin. Bu sanashga oid masalalarni osonlashtiradi.

Muntazam ko‘pyoq barcha yoqlari o‘zaro teng muntazam ko‘pburchaklardan iborat va har bir uchida birlashadigan yoqlar soni bir xil bo‘lgan ko‘pyoqdir. Ularning faqat besh turi mavjud. Turlar yoqlarning shakli va bir uchda birlashadigan yoqlar soniga qarab farqlanadi hamda ko‘pincha yoyilmalarga oid masalalarda uchraydi.

Aylanish jismi tekis shaklni bir to‘g‘ri chiziq atrofida 1 marta to‘liq aylantirishdan hosil bo‘ladi. Ularga silindr, konus, kesik konus va shar kiradi. Aylanish o‘qini o‘z ichiga olgan tekislik bilan kesilganda o‘qqa nisbatan simmetrik shakl, o‘qqa perpendikulyar tekislik bilan kesilganda esa doira hosil bo‘lishi masalalarda ko‘p uchraydi.

Prizma yoki silindrning sirt yuzi ikkala asosining yuzlari va yon sirt yuzining yig‘indisiga, hajmi esa asos yuzi va balandligining ko‘paytmasiga teng. Silindrning yon sirti yoyilganda eni asos aylanasining uzunligiga teng bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchak hosil bo‘ladi, bu esa sirt yuzini oson hisoblash imkonini beradi.

Piramida yoki konusning to‘la sirt yuzi asos yuzi bilan yon sirt yuzining yig‘indisiga teng, hajmi esa asos yuzi va balandligi bir xil bo‘lgan prizma yoki silindr hajmining 1/3 qismiga teng. Konusning yon sirt yoyilmasi doira sektori bo‘lgani uchun sektor yuzi formulasidan foydalanib, to‘la sirt yuzini topish mumkin.

Radiusi r bo‘lgan sharning sirt yuzi 4πr², hajmi esa 4/3πr³ ga teng. Asos radiuslari va balandliklari bir xil bo‘lgan konus, shar va silindr hajmlarining nisbati 1:2:3 bo‘lgani uchun bu formulalarni konus va silindr hajmlari bilan bog‘lab eslab qolish mumkin.

Markaziy tendensiya ko‘rsatkichi barcha ma’lumotlarning xususiyatlarini bitta son bilan ifodalaydi. Bunday ko‘rsatkichlarga o‘rta arifmetik, mediana va moda kiradi. Ma’lumotlarda chekka qiymatlar bor-yo‘qligiga va ma’lumotlarning miqdoriy ekanligiga qarab mos ko‘rsatkichni tanlash kerak.

Poya va barg diagrammasida ma’lumotlarning qiymatlari poyalar va barglarga ajratiladi va bir poyaga tegishli barglar o‘sish tartibida joylashtiriladi. U ma’lumotlarning asl qiymatlarini ham, taqsimot shaklini ham ko‘rish imkonini beradi.

Chastotalar taqsimoti jadvali ma’lumotlarni kengligi bir xil bo‘lgan intervallarga ajratadi va har bir intervalga kiradigan ma’lumotlar soni bo‘lgan chastotani ko‘rsatadi. Gistogramma va nisbiy chastotaga oid masalalarni yechish uchun interval, interval kengligi va chastota tushunchalarining ma’nosini aniq bilish kerak.

Gistogramma chastotalar taqsimoti jadvalidagi intervallar kengligini to‘g‘ri to‘rtburchaklarning eni, chastotalarni esa ularning balandligi sifatida olib, to‘g‘ri to‘rtburchaklarni bir-biriga tutashtirib chizilgan grafikdir. Har bir to‘g‘ri to‘rtburchakning yuzi chastotaga to‘g‘ri proporsional bo‘lgani uchun yuzlar nisbati chastotalar nisbatiga teng ekanidan ko‘p foydalaniladi.