나만의 카드 카드

소인수분해한 각 소인수의 지수에 1씩 더해 모두 곱하면 약수의 개수가 나오는 요령이에요. 약수를 일일이 나열하지 않아도 되어서 큰 수의 약수 개수나 약수 개수가 주어진 수 찾기 문제를 빠르게 풀 수 있어요.

소인수분해한 뒤 지수가 홀수인 소인수만 하나씩 더 곱해 모든 지수를 짝수로 맞추는 요령이에요. 어떤 수에 곱하거나 나눠서 제곱수를 만드는 가장 작은 수를 계산 한 번으로 바로 찾을 수 있어요.

두 자연수의 곱은 최대공약수와 최소공배수의 곱과 같다는 관계를 쓰는 요령이에요. 세 값 중 둘만 알면 나머지 하나를 나눗셈 한 번으로 구할 수 있어서 조건으로 수를 거꾸로 찾는 문제에 특히 편해요.

여러 수로 나눴을 때 나머지가 모두 같으면, 구하는 수에서 그 나머지를 뺀 값이 공배수라는 점을 쓰는 요령이에요. 최소공배수에 나머지를 더하기만 하면 되어서 나머지 조건 문제를 식 하나로 끝낼 수 있어요.

두 분수를 통분한 뒤 분모와 분자에 같은 수를 곱해 분모를 키우면 사이에 들어가는 분수가 보이는 요령이에요. 두 수 사이에 있는 분수나 정수가 아닌 유리수를 찾는 문제에서 원하는 개수만큼 쉽게 만들 수 있어요.

두 수의 차의 절댓값을 수직선 위 두 점 사이의 거리로 바꿔 읽는 요령이에요. 절댓값이 들어간 조건이나 어떤 점에서 같은 거리에 있는 수를 찾을 때 그림으로 바로 답이 보여서 실수가 줄어요.

곱셈과 나눗셈만 있는 식은 음수의 개수가 짝수면 양수, 홀수면 음수로 부호를 먼저 정하는 요령이에요. 부호를 정해 두고 절댓값끼리만 계산하면 되니까 여러 수의 곱이나 거듭제곱 계산에서 부호 실수가 크게 줄어요.

거리·속력·시간 문제에서 각 상황을 표의 한 줄로 정리하고 빈칸을 미지수로 채우는 요령이에요. 표를 채우고 나면 같은 거리나 같은 시간이 한눈에 보여서 어떤 양으로 등식을 세울지 바로 정할 수 있어요.

농도 문제에서 농도 대신 소금의 양을 기준으로 섞기 전과 섞은 후가 같다는 등식을 쓰는 요령이에요. 물을 넣거나 증발시켜도 소금의 양은 그대로라서 복잡한 농도 문제도 한 줄짜리 일차방정식으로 정리돼요.

방정식의 해가 주어지면 그 값을 x에 대입해 모르는 상수에 대한 식으로 바꾸는 요령이에요. 해가 같은 두 방정식이나 상수가 들어간 방정식 문제를 한 번의 대입으로 간단한 계산 문제로 바꿀 수 있어요.

계수에 소수나 분수가 있으면 양변에 10의 거듭제곱이나 분모의 최소공배수를 곱해 정수 계수로 바꾸는 요령이에요. 분수 계산을 피할 수 있어서 계산이 짧아지고, 괄호를 풀 때 생기는 부호 실수도 줄어요.

ax=b 꼴로 정리한 뒤 a가 0인지 아닌지, a=0이면 b가 0인지로 해의 개수를 가리는 요령이에요. 해가 없거나 무수히 많을 조건을 묻는 문제에서 경우를 빠짐없이 나눌 수 있어서 함정 문제를 피할 수 있어요.

일의 양이 주어지지 않은 문제에서 전체 일을 1로 두고 하루에 하는 일의 양을 분수로 나타내는 요령이에요. 여러 사람이 함께 하거나 나누어 하는 상황도 하루 일의 양을 더하기만 하면 되어서 식 세우기가 쉬워져요.

몇 년이 지나거나 거슬러 가도 두 사람의 나이 차는 변하지 않는다는 점을 쓰는 요령이에요. 미지수를 하나만 두고도 두 사람의 나이를 함께 나타낼 수 있어서 나이 문제의 식이 간단해져요.

x축 대칭은 y좌표, y축 대칭은 x좌표, 원점 대칭은 두 좌표의 부호를 모두 바꾸면 되는 요령이에요. 그림을 그리지 않아도 대칭인 점의 좌표를 바로 쓸 수 있어서 대칭점으로 만든 도형 문제가 빨라져요.

좌표평면 위 삼각형을 축에 평행한 직사각형으로 감싼 뒤 바깥의 직각삼각형들을 빼서 넓이를 구하는 요령이에요. 밑변과 높이가 축과 나란하지 않은 삼각형도 좌표 차이만으로 넓이를 구할 수 있어요.

점의 x좌표와 y좌표의 부호만 보고 어느 사분면에 있는지 정하는 요령이에요. 문자로 된 점의 위치를 묻는 문제에서 ab>0, a+b<0 같은 조건으로 부호를 먼저 정하면 사분면이 바로 나와요.

시간-거리 그래프에서 선이 가파를수록 같은 시간에 더 많이 간 것이므로 빠르다고 읽는 요령이에요. 두 사람의 그래프를 비교하거나 구간별로 빠르기가 바뀌는 상황을 숫자 계산 없이 먼저 판단할 수 있어요.

그래프가 지나는 점 하나의 좌표를 y=ax나 y=a/x에 대입해 a를 구하는 요령이에요. 정비례는 y를 x로 나누고 반비례는 x와 y를 곱하면 되어서 그래프 위의 다른 점까지 바로 이어서 구할 수 있어요.

반비례 그래프 위의 점에서 두 축에 수선을 그어 만든 직사각형의 넓이가 항상 a의 절댓값이라는 요령이에요. 점의 위치가 달라도 넓이가 같아서 넓이 조건으로 a를 구하거나 삼각형 넓이를 구할 때 계산이 거의 없어져요.

분침은 1분에 6°, 시침은 1분에 0.5°씩 돌아요. 12시간 주기로 계산한 두 바늘의 각도 차 d와 360°-d 중 작은 값을 택하면 두 바늘 사이 작은 각을 구할 수 있어요.

꺾인 점마다 주어진 평행선과 평행한 보조선을 그어 각을 엇각이나 동위각으로 나누는 요령이에요. 꺾인 각이 두 엇각의 합으로 쪼개져서 처음 보는 모양의 평행선 문제에도 그대로 적용할 수 있어요.

두 평행선 사이에서 지그재그로 꺾인 선이 있을 때 왼쪽으로 꺾인 각의 합과 오른쪽으로 꺾인 각의 합이 같다는 요령이에요. 보조선을 여러 번 긋지 않고도 꺾인 각 문제를 식 하나로 바로 풀 수 있어요.

종이를 접으면 접힌 선을 기준으로 겹치는 두 각의 크기가 같다는 점을 쓰는 요령이에요. 직사각형 종이를 접는 문제에서 엇각과 함께 쓰면 이등변삼각형이 드러나서 숨은 각을 쉽게 찾을 수 있어요.

세 선분으로 삼각형을 만들 수 있는지 볼 때 가장 긴 변이 나머지 두 변의 합보다 작은지만 확인하는 요령이에요. 세 부등식을 모두 따질 필요가 없어서 길이에 문자가 들어간 문제도 빠르게 범위를 정할 수 있어요.

같다고 주어진 변과 각이 어디에 있는지를 보고 SSS, SAS, ASA 중 알맞은 합동 조건을 고르는 요령이에요. 각이 두 변 사이에 끼었는지, 변이 두 각 사이에 있는지만 확인하면 되어서 합동 증명의 근거를 빠르게 찾을 수 있어요.

n각형의 한 꼭짓점에서 자기 자신과 이웃한 두 점을 뺀 n-3개의 대각선을 긋고, 두 번 센 것을 2로 나누는 요령이에요. 대각선 개수로 다각형을 찾는 역문제나 악수·리그전 같은 개수 세기 문제에도 그대로 쓸 수 있어요.

삼각형의 한 외각이 이웃하지 않는 두 내각의 합이라는 성질로 별 모양의 다섯 꼭짓각을 한 삼각형 안에 모으는 요령이에요. 다섯 각의 합이 항상 180°라는 결과가 나와서 별 모양 각 문제를 바로 풀 수 있어요.

다각형의 외각의 합은 항상 360°이므로 정n각형의 한 외각이 360°/n이라는 점을 쓰는 요령이에요. 내각의 합 공식보다 계산이 간단해서 한 내각이나 외각의 크기로 정다각형을 찾을 때 훨씬 빨라요.

부채꼴의 호의 길이와 넓이는 원의 둘레와 넓이에 중심각의 비율을 곱한 것이라는 요령이에요. 중심각에 정비례하는 성질을 쓰면 비례식 하나로 호의 길이, 넓이, 중심각 중 모르는 값을 구할 수 있어요.

부채꼴의 넓이를 중심각 없이 반지름과 호의 길이만으로 구하는 요령이에요. 삼각형 넓이처럼 반지름과 호의 길이를 곱해 반으로 나누면 되어서 원뿔의 옆넓이를 구할 때도 계산이 짧아져요.

볼록 다면체에서는 꼭짓점의 개수에서 모서리의 개수를 빼고 면의 개수를 더하면 2예요. 이 조건에 해당하는 다면체에서 세 개수 중 두 개로 나머지를 구하거나 검산할 수 있어요.

입체도형을 펼친 전개도로 바꿔 옆면을 직사각형이나 부채꼴로 보고 밑면과 더하는 요령이에요. 원기둥의 옆면은 밑면 둘레를 가로로 하는 직사각형, 원뿔의 옆면은 부채꼴이 되어 겉넓이를 빠짐없이 구할 수 있어요.

밑넓이와 높이가 같은 기둥의 부피를 먼저 구하고 3으로 나눠 뿔의 부피를 구하는 요령이에요. 각뿔과 원뿔 모두 같은 원리라서 잘라낸 입체나 뿔대의 부피도 기둥과 뿔의 차로 쉽게 계산할 수 있어요.

자료의 개수가 짝수이면 크기순으로 나열해 가운데 두 값의 평균을 중앙값으로 삼는 요령이에요. 미지수가 포함된 자료의 중앙값 문제에서 가운데 두 값이 무엇인지 먼저 정하면 실수가 줄어요.

자료에 매우 크거나 작은 극단값이 있으면 평균 대신 중앙값을 대푯값으로 쓰는 요령이에요. 평균은 극단값에 크게 흔들리지만 중앙값은 거의 변하지 않아 자료의 중심을 더 잘 나타내요.

줄기와 잎 그림은 잎이 크기순으로 정렬되어 있으므로 위나 아래에서부터 잎을 세어 순서를 읽는 요령이에요. 자료를 다시 나열하지 않고도 몇 번째로 큰 값이나 특정 값 이상인 개수를 바로 찾을 수 있어요.

도수분포표나 히스토그램에서 지워진 도수는 전체 도수에서 알고 있는 도수를 빼서 구하는 요령이에요. 비율 조건과 함께 나오면 빠진 도수를 미지수로 두고 일차방정식으로 정리해 두 값을 한꺼번에 구할 수 있어요.

히스토그램의 직사각형 넓이의 합은 계급의 크기와 도수의 총합을 곱한 것과 같다는 요령이에요. 도수분포다각형과 가로축으로 둘러싸인 넓이도 이와 같아서 넓이를 묻는 문제를 곱셈 한 번으로 해결할 수 있어요.

어떤 계급의 도수와 상대도수를 알면 도수를 상대도수로 나눠 전체 도수를 되짚는 요령이에요. 전체 도수를 먼저 구해 두면 찢어진 표나 일부만 보이는 그래프에서도 다른 계급의 도수를 모두 구할 수 있어요.

전체 도수가 다른 두 집단은 도수를 그대로 비교하지 말고 상대도수로 바꿔 비교하는 요령이에요. 학급 인원이 다른 두 반의 비율이나 분포를 공정하게 비교할 수 있어서 그래프 해석 문제의 함정을 피할 수 있어요.

분수를 기약분수로 고친 뒤 분모를 소인수분해해서 2와 5 말고 다른 소인수가 있는지만 보는 판정법이에요. 직접 나눠 보지 않아도 유한소수인지 바로 알 수 있고, 곱할 수의 최솟값을 묻는 문제에 특히 좋아요.

순환소수를 분수로 바꿀 때 분모에 순환마디 숫자 개수만큼 9를, 소수점 아래 순환하지 않는 숫자 개수만큼 0을 쓰는 방법이에요. 식을 세워 빼는 과정 없이 바로 분수로 바꿀 수 있어 시간과 실수가 줄어요.

밑이 달라 보이는 거듭제곱을 4를 2의 제곱으로 보는 식으로 같은 밑으로 바꾸는 요령이에요. 밑이 같아지면 지수끼리만 비교하면 되므로 미지수가 지수에 있는 식도 쉽게 풀려요.

2의 거듭제곱과 5의 거듭제곱의 곱에서 2와 5를 한 쌍씩 묶어 10의 거듭제곱을 만드는 방법이에요. 남은 수와 10의 지수만 보면 큰 수의 자릿수를 계산 없이 셀 수 있어요.

거듭제곱의 일의 자리 숫자가 일정한 주기로 반복된다는 점을 이용하는 요령이에요. 지수를 주기로 나눈 나머지만 보면 아주 큰 거듭제곱의 일의 자리도 바로 구할 수 있어요.

식의 값을 구할 때 수를 바로 넣지 않고 먼저 동류항을 정리해 식을 간단히 만드는 습관이에요. 대입할 항이 줄어 분수나 음수 계산에서 생기는 실수를 크게 줄일 수 있어요.

어떤 식에 A를 빼야 할 것을 잘못 더한 결과가 주어지면, 그 결과에서 A를 빼 원래 식부터 되찾는 요령이에요. 원래 식을 구한 뒤 바르게 계산하면 되어 문제 구조가 단순해져요.