Мои -карточки-карточки

Чтобы найти количество делителей, прибавьте 1 к показателю степени каждого простого множителя в разложении и перемножьте все результаты. Перечислять делители по одному не нужно, поэтому можно быстро решать задачи на количество делителей больших чисел или на поиск числа с заданным количеством делителей.

После разложения на простые множители нужно ещё по одному разу умножить только на те простые множители, у которых показатели степеней нечётные, чтобы все показатели стали чётными. Так можно за одно вычисление найти наименьшее число, на которое нужно умножить или разделить данное число, чтобы получить полный квадрат.

Этот приём использует соотношение: произведение двух натуральных чисел равно произведению их наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного. Если известны любые два из трёх значений, оставшееся можно найти одним делением. Это особенно удобно в задачах, где нужно восстановить числа по заданным условиям.

Если при делении на несколько чисел все остатки одинаковы, используйте тот факт, что после вычитания этого остатка из искомого числа получается общее кратное. Достаточно прибавить остаток к наименьшему общему кратному, поэтому задачу с условиями на остатки можно решить одним выражением.

После приведения двух дробей к общему знаменателю умножьте знаменатель и числитель на одно и то же число. Увеличив знаменатель, вы сможете увидеть дроби между ними. В задачах на поиск дробей или нецелых рациональных чисел между двумя числами этот способ позволяет легко получить нужное количество чисел.

Этот приём позволяет читать модуль разности двух чисел как расстояние между двумя точками на числовой прямой. Когда нужно работать с условиями, содержащими модуль, или находить числа на одинаковом расстоянии от некоторой точки, рисунок сразу показывает ответ и помогает сократить ошибки.

В выражении, содержащем только умножение и деление, сначала определяют знак: если количество отрицательных чисел чётное, результат положительный, если нечётное — отрицательный. После определения знака достаточно выполнить вычисления с модулями чисел, поэтому при нахождении произведения нескольких чисел или вычислении степеней ошибок в знаках становится значительно меньше.

В задачах на расстояние, скорость и время каждую ситуацию удобно записывать в отдельной строке таблицы, выражая неизвестные величины в пустых ячейках. После заполнения таблицы сразу видны равные расстояния или равные промежутки времени, поэтому легко выбрать величину для составления уравнения.

В задачах на концентрацию составляют равенство количества соли до и после смешивания, ориентируясь на количество соли, а не на концентрацию. При добавлении или испарении воды количество соли не меняется, поэтому даже сложную задачу на концентрацию можно записать одним линейным уравнением.

Если решение уравнения известно, подставьте это значение вместо x, чтобы получить уравнение относительно неизвестной постоянной. Задачи о двух уравнениях с одинаковым решением или об уравнениях с постоянными можно одной подстановкой свести к простым вычислениям.

Если коэффициенты представлены десятичными или обыкновенными дробями, умножьте обе части на степень 10 или на наименьшее общее кратное знаменателей, чтобы получить целые коэффициенты. Это позволяет избежать вычислений с дробями, сократить расчёты и уменьшить число ошибок со знаками при раскрытии скобок.

Приведите уравнение к виду ax=b и проверьте, равно ли a значению 0, а при a=0 проверьте, равно ли b значению 0. Так можно определить число решений. В задачах на условия отсутствия решений или бесконечного числа решений этот приём позволяет рассмотреть все случаи и избежать ошибок в задачах с подвохом.

В задачах, где объём работы не задан, всю работу принимают за 1, а объём работы за день выражают дробью. Если несколько человек работают вместе или делят работу между собой, достаточно сложить их дневные объёмы работы, что упрощает составление уравнения.

Этот приём использует то, что разница в возрасте двух людей не меняется, сколько бы лет ни прошло и сколько бы лет назад мы ни отсчитали. Возраст обоих людей можно выразить через одну неизвестную, что упрощает уравнения в задачах на возраст.

При симметрии относительно оси x меняйте знак координаты y, относительно оси y — координаты x, относительно начала координат — обеих координат. Это позволяет сразу записать координаты симметричной точки без рисунка и быстрее решать задачи о фигурах, составленных из таких точек.

좌표평면 위 삼각형을 축에 평행한 직사각형으로 감싼 뒤 바깥의 직각삼각형들을 빼서 넓이를 구하는 요령이에요. 밑변과 높이가 축과 나란하지 않은 삼각형도 좌표 차이만으로 넓이를 구할 수 있어요.

Это способ определить координатную четверть точки только по знакам её координат x и y. В задачах о положении точки с буквенными координатами сначала определите знаки по условиям вроде ab>0, a+b<0, и четверть станет сразу известна.

На графике зависимости расстояния от времени более крутая линия означает большее расстояние за то же время, а значит, более высокую скорость. Можно предварительно сравнить графики двух людей или определить изменения скорости на разных участках без числовых вычислений.

Приём позволяет найти a подстановкой координат одной точки графика в y=ax или y=a/x. Для прямой пропорциональности разделите y на x, а для обратной умножьте x на y; затем можно сразу найти другие точки графика.

반비례 그래프 위의 점에서 두 축에 수선을 그어 만든 직사각형의 넓이가 항상 a의 절댓값이라는 요령이에요. 점의 위치가 달라도 넓이가 같아서 넓이 조건으로 a를 구하거나 삼각형 넓이를 구할 때 계산이 거의 없어져요.

Минутная стрелка за 1 минуту поворачивается на 6°, а часовая стрелка за 1 минуту поворачивается на 0.5°. Чтобы найти меньший угол между стрелками, выбирают меньшее из разности их углов d, рассчитанной с учётом 12-часового цикла, и 360°-d.

Приём состоит в проведении через каждую точку излома вспомогательной прямой, параллельной данным прямым, и разложении угла с помощью накрест лежащих или соответственных углов. Угол при изломе представляется суммой двух накрест лежащих углов, поэтому приём применим и к задачам с непривычной конфигурацией параллельных прямых.

Если между двумя параллельными прямыми проходит зигзагообразная ломаная, сумма углов, раскрытых влево, равна сумме углов, раскрытых вправо. Этот приём позволяет решать задачи на углы ломаной одним уравнением, не проводя вспомогательные прямые несколько раз.

Приём использует то, что при складывании бумаги два угла, совмещающиеся относительно линии сгиба, равны. В задачах со складыванием прямоугольного листа вместе с накрест лежащими углами это помогает обнаружить равнобедренный треугольник и легко найти скрытые углы.

Чтобы определить, можно ли составить треугольник из трёх отрезков, достаточно проверить, меньше ли самый длинный отрезок суммы двух остальных. Не нужно проверять все три неравенства, поэтому даже при буквенных обозначениях длин можно быстро определить допустимый диапазон.

Приём позволяет выбрать подходящий признак равенства SSS, SAS или ASA по расположению сторон и углов, заданных равными. Достаточно проверить, находится ли угол между двумя сторонами или сторона между двумя углами, чтобы быстро найти основание для доказательства равенства.

Приём состоит в том, чтобы провести из одной вершины n-угольника n-3 диагоналей, исключив саму вершину и две соседние, а затем разделить результат двойного подсчёта на 2. Этот приём также подходит для обратных задач на определение многоугольника по количеству диагоналей и для подсчёта рукопожатий или матчей кругового турнира.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Это свойство позволяет собрать пять углов при вершинах звезды внутри одного треугольника. Их сумма всегда равна 180°, поэтому задачи на углы звезды можно решать сразу.

Сумма внешних углов многоугольника всегда равна 360°, поэтому один внешний угол правильного n-угольника равен 360°/n. Расчёт проще, чем по формуле суммы внутренних углов, поэтому по одному внутреннему или внешнему углу правильный многоугольник можно определить гораздо быстрее.

Длина дуги и площадь сектора получаются умножением длины окружности и площади круга на долю центрального угла. Используя прямую пропорциональность центральному углу, одной пропорцией можно найти неизвестную длину дуги, площадь или центральный угол.

Площадь сектора можно найти только по радиусу и длине дуги, без центрального угла. Как и при вычислении площади треугольника, достаточно перемножить радиус и длину дуги и разделить результат пополам. Это сокращает вычисления и при нахождении площади боковой поверхности конуса.

У выпуклого многогранника, если из числа вершин вычесть число рёбер и прибавить число граней, получится 2. Для многогранника, удовлетворяющего этому условию, зная два из трёх чисел, можно найти третье или проверить вычисления.

Тело представляют в виде развёртки, рассматривают боковые поверхности как прямоугольники или секторы и добавляют площади оснований. Боковая поверхность цилиндра становится прямоугольником с шириной, равной длине окружности основания, а боковая поверхность конуса — сектором. Так можно найти всю площадь поверхности без пропусков.

Сначала находят объём призмы или цилиндра с той же площадью основания и высотой, затем делят его на 3, чтобы получить объём пирамиды или конуса. Для пирамид и конусов действует один принцип. Поэтому объёмы обрезанных тел и усечённых пирамид или конусов также легко вычислить как разность соответствующих объёмов.

Если число значений чётное, упорядочьте их по величине и возьмите среднее двух центральных значений как медиану. В задачах о медиане данных с неизвестными сначала определите два центральных значения, чтобы уменьшить число ошибок.

Если в данных есть очень большие или маленькие экстремальные значения, в качестве представительного значения используют медиану вместо среднего. Экстремальные значения сильно влияют на среднее, а медиана почти не меняется, поэтому лучше отражает центр данных.

На диаграмме «стебель и листья» листья упорядочены по величине, поэтому порядок значений можно определить, считая листья сверху или снизу. Не переписывая данные, можно сразу найти значение на нужном месте по убыванию или количество значений, не меньших заданного.

Стёртую частоту в таблице распределения частот или гистограмме находят, вычитая известные частоты из общей частоты. Если также задано условие об отношении, обозначьте пропущенную частоту неизвестной и составьте линейное уравнение, чтобы одновременно найти оба значения.

Приём использует равенство суммы площадей прямоугольников гистограммы произведению ширины интервала и суммы частот. Площадь между полигоном частот и горизонтальной осью также равна этому значению, поэтому задачу о площади можно решить одним умножением.

Если известны частота и относительная частота некоторого интервала, общую частоту находят делением частоты на относительную частоту. Найдя сначала общую частоту, можно определить частоты всех остальных интервалов даже по порванной таблице или частично видимому графику.

Для сравнения двух групп с разными суммарными частотами преобразуйте частоты в относительные, а не сравнивайте их напрямую. Это позволяет корректно сравнивать доли и распределения в двух классах с разным числом учеников и избегать ошибок при интерпретации графиков.

Сократите дробь, разложите знаменатель на простые множители и проверьте, есть ли среди них что-либо кроме 2 и 5. Это позволяет сразу определить, является ли десятичная дробь конечной, без деления, и особенно удобно в задачах на наименьшее число, на которое нужно умножить.

При преобразовании периодической десятичной дроби в обыкновенную в знаменателе записывают столько 9, сколько цифр в периоде, и столько 0, сколько непериодических цифр после запятой. Этот способ позволяет сразу получить обыкновенную дробь без составления и вычитания уравнений, сокращая время и количество ошибок.

밑이 달라 보이는 거듭제곱을 4를 2의 제곱으로 보는 식으로 같은 밑으로 바꾸는 요령이에요. 밑이 같아지면 지수끼리만 비교하면 되므로 미지수가 지수에 있는 식도 쉽게 풀려요.

В произведении степени 2 и степени 5 объединяйте 2 и 5 попарно, чтобы получить степень 10. По оставшемуся числу и показателю степени 10 можно определить количество цифр большого числа без вычислений.

Этот приём использует то, что цифра единиц степеней повторяется с определённым периодом. По остатку от деления показателя на длину периода можно сразу найти цифру единиц даже у очень большой степени.

При нахождении значения выражения полезно сначала привести подобные слагаемые и упростить его, а затем подставлять числа. Это уменьшает количество слагаемых для подстановки и значительно сокращает ошибки при вычислениях с дробями и отрицательными числами.

어떤 식에 A를 빼야 할 것을 잘못 더한 결과가 주어지면, 그 결과에서 A를 빼 원래 식부터 되찾는 요령이에요. 원래 식을 구한 뒤 바르게 계산하면 되어 문제 구조가 단순해져요.