Мои -карточки-карточки

Простое число — это натуральное число, большее 1, единственными делителями которого являются 1 и само это число, а составное число имеет не менее 3 делителей. Зная, что 1 не является ни простым, ни составным числом, можно правильно приступить к разложению на простые множители и решению задач на делители.

Степень — это краткая запись произведения одинаковых чисел или букв с помощью основания и показателя степени. Она необходима для краткой записи разложения на простые множители и облегчает вычисления, поскольку показатель сразу указывает количество множителей.

Разложение на простые множители — это представление натурального числа, большего 1, в виде произведения только простых множителей. Если не учитывать порядок умножения, такое разложение единственно, поэтому оно служит основой для нахождения делителей, квадратов натуральных чисел, наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного.

Наибольший общий делитель — это наибольший из общих делителей двух или более натуральных чисел, а все общие делители являются делителями наибольшего общего делителя. После разложения на простые множители нужно перемножить общие простые множители, взяв для каждого меньший показатель степени. Поэтому этот способ часто используют в задачах на разделение поровну.

Наименьшее общее кратное — это наименьшее число среди общих кратных двух или более натуральных чисел, а все общие кратные являются кратными наименьшего общего кратного. После разложения на простые множители нужно перемножить все простые множители, выбрав для каждого больший показатель степени, поэтому этот способ часто используют в задачах об одновременном отправлении.

Положительные целые числа, 0 и отрицательные целые числа вместе называются целыми числами. Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби с целыми числителем и знаменателем. Знание классификации чисел помогает правильно выбирать среди заданных чисел целые числа или рациональные числа, не являющиеся целыми.

На числовой прямой выбирают 0 в качестве точки отсчёта и располагают положительные числа справа, а отрицательные слева, используя равные интервалы. Каждое рациональное число можно представить точкой, поэтому числовая прямая помогает наглядно сравнивать числа и определять их модули.

Модуль числа — это расстояние между точкой, изображающей это число на координатной прямой, и началом отсчёта. Поскольку это расстояние, модуль всегда больше или равен 0. В задачах часто используется то, что числа с одинаковым модулем — это два числа, расположенные на равном расстоянии по разные стороны от начала отсчёта.

На числовой прямой число тем больше, чем правее оно расположено. Чем больше модуль положительного числа, тем больше это число, а чем больше модуль отрицательного числа, тем меньше это число. Если одновременно освоить запись диапазонов с помощью знаков неравенства, будет легче решать задачи на подсчёт целых чисел, удовлетворяющих заданным условиям.

Чтобы сложить два числа с одинаковыми знаками, складывают их модули и ставят общий знак. Чтобы сложить два числа с разными знаками, находят разность их модулей и ставят знак числа с бо́льшим модулем. Вычитание можно заменить сложением, изменив знак вычитаемого, а затем сгруппировать вычисления с помощью переместительного и сочетательного законов.

Произведение и частное двух чисел с одинаковыми знаками положительны, а двух чисел с разными знаками отрицательны. Деление выполняют, заменяя его умножением на обратное число. Чтобы получить правильное значение выражения, содержащего степени, скобки и четыре арифметических действия, необходимо соблюдать порядок действий.

В буквенном выражении величины, значения которых не определены, обозначаются буквами, а отношения между ними записываются в виде выражения. Изучив правила опускания знаков умножения и деления, можно кратко записывать выражения для прикладных задач на скорость, концентрацию и стоимость.

Значение выражения получают, подставляя заданные числа вместо букв и выполняя вычисления. При подстановке отрицательного числа обязательно используйте скобки, чтобы избежать ошибок со знаками. Этот же способ подстановки используется для проверки решений уравнений.

Изучите понятия члена, свободного члена, коэффициента и степени. Выражение, представляющее собой сумму одного или нескольких членов, называется многочленом. Многочлен, у которого степень члена наивысшей степени равна 1, называется линейным выражением и служит основой для составления и решения линейных уравнений.

Подобные слагаемые содержат одинаковые буквы в одинаковых степенях. Постоянные слагаемые также подобны друг другу. Только подобные слагаемые можно объединить в одно слагаемое, складывая или вычитая их коэффициенты, поэтому приведение подобных слагаемых лежит в основе всех вычислений при упрощении выражений.

При сложении и вычитании линейных выражений сначала раскрывают скобки по распределительному закону, а затем приводят подобные слагаемые. Если перед скобками стоит отрицательное число, знаки всех слагаемых внутри скобок меняются. Именно здесь чаще всего возникают ошибки.

Уравнение — это равенство, которое может быть верным или неверным в зависимости от значения неизвестного, а тождество — равенство, верное при любом значении неизвестного. В задачах на определение условий часто используется то, что равенство является тождеством, если после упрощения его левая и правая части совпадают.

Равенство сохраняется, если к обеим его частям прибавить одно и то же число, вычесть из обеих частей одно и то же число, умножить обе части на одно и то же число или разделить обе части на одно и то же число, отличное от 0. Эти свойства позволяют привести уравнение к виду x=(число) и служат основанием для преобразования коэффициентов в целые числа.

Перенос членов уравнения основан на свойствах равенства: член из одной части переносят в другую, изменяя его знак. Собрав члены с переменной в левой части, а постоянные члены в правой, можно быстро привести линейное уравнение к виду ax=b.

일차방정식은 모든 항을 좌변으로 이항해 정리했을 때 (일차식)=0 꼴이 되는 방정식이에요. 괄호를 풀고 이항해 ax=b 꼴로 만든 뒤 양변을 a로 나누면 해를 구할 수 있어요.

Применение линейного уравнения заключается в том, чтобы обозначить искомую величину неизвестной, составить уравнение по условиям задачи и решить его. В конце обязательно проверьте, должно ли решение быть натуральным числом, как при подсчёте количества или определении возраста, и соответствует ли оно условиям задачи.

Координатная плоскость образована осями x и y, которые пересекаются под прямым углом в начале координат. Точка на ней задаётся упорядоченной парой (координата x, координата y). При изменении порядка получается другая точка, поэтому при чтении и записи координат необходимо строго соблюдать их порядок.

Координатные оси делят координатную плоскость на четыре области, которые называются четвертями 1, 2, 3 и 4, начиная с верхней правой области против часовой стрелки. В задачах часто проверяется знание того, что точки на координатных осях не принадлежат ни одной четверти.

График представляет зависимость между двумя переменными в виде упорядоченных пар, изображённых точками или линиями на координатной плоскости. На школьных экзаменах часто встречаются задачи, в которых нужно интерпретировать реальные ситуации, определяя промежутки возрастания, убывания и отсутствия изменений.

Прямая пропорциональность — это зависимость, при которой при увеличении значения x в 2 раза или в 3 раза значение y также увеличивается соответственно в 2 раза или в 3 раза. Она выражается формулой y=ax. Её график представляет собой прямую, проходящую через начало координат: при a>0 она направлена вправо вверх, а при a<0 — вправо вниз.

Обратная пропорциональность — это зависимость, при которой, когда значение x увеличивается в 2 и 3 раза, значение y составляет соответственно 1/2 и 1/3 своего исходного значения. Она выражается формулой y=a/x. График состоит из пары плавных кривых, приближающихся к координатным осям, а четверти, в которых они расположены, зависят от знака a.

Вертикальные углы — это два противоположных угла из четырёх углов, образованных при пересечении двух прямых в одной точке. Вертикальные углы всегда равны, а сумма двух смежных углов составляет 180°, поэтому эти свойства служат основой для нахождения углов при пересечении прямых.

Соответственные углы — это два угла, занимающие одинаковое относительное положение, а накрест лежащие углы — два угла между прямыми по разные стороны секущей. Правильно определив положение углов, можно применить свойства параллельных прямых, поэтому с этого начинается решение задач на углы.

Если две параллельные прямые пересечены другой прямой, то соответственные и накрест лежащие углы соответственно равны. Обратно, если соответственные или накрест лежащие углы равны, то две прямые параллельны. Задачи на углы, связанные с ломаными или сгибанием бумаги, основаны на этих свойствах.

В треугольнике длина любой стороны всегда меньше суммы длин двух других сторон. Чтобы из трёх отрезков можно было составить треугольник, это условие должно выполняться. Поэтому его используют при построении треугольников и в задачах на определение диапазона возможных длин сторон.

Построение треугольника — это построение с помощью только линейки без делений и циркуля. Треугольник определяется однозначно, если заданы три стороны, две стороны и угол между ними или одна сторона и два прилежащих к ней угла. Эти три случая непосредственно соответствуют признакам равенства треугольников.

Два треугольника равны, если их три соответствующие стороны равны, либо равны две соответствующие стороны и угол между ними, либо равны соответствующая сторона и два прилежащих к ней угла. У равных фигур соответствующие стороны и углы равны, что служит основанием для нахождения или доказательства длин и углов.

Многоугольник — это плоская фигура, ограниченная несколькими отрезками, а диагональ — это отрезок, соединяющий две несоседние вершины. Число диагоналей n-угольника можно сразу найти по формуле, поэтому её используют в задачах на определение многоугольника по числу его диагоналей.

Сумма трёх внутренних углов треугольника равна 180°, а внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Используя свойство внешнего угла, можно свести углы сложной фигуры к одному треугольнику и быстро найти их величины.

Проведя диагонали из одной вершины n-угольника, его можно разбить на (n-2) треугольников, поэтому сумма его внутренних углов равна 180°×(n-2). Для правильного многоугольника деление этого значения на n даёт величину одного внутреннего угла.

При каждой вершине многоугольника сумма внутреннего и внешнего углов равна 180°. Поэтому, вычитая сумму внутренних углов из общей суммы, получаем сумму внешних углов 360°, независимо от числа сторон. Это самый быстрый способ найти величину одного внешнего угла правильного многоугольника или число его сторон.

Изучите понятия дуги, хорды, секущей, сектора и сегмента. В одном и том же круге длина дуги и площадь сектора прямо пропорциональны величине центрального угла. То, что длина хорды не прямо пропорциональна центральному углу, часто проверяется в заданиях с подвохом на школьных экзаменах.

Длина дуги и площадь сектора с радиусом r и центральным углом x° равны соответственно длине окружности и площади круга, умноженным на x/360. Площадь также можно найти, зная только радиус и длину дуги, что применяется и при вычислении площади боковой поверхности конуса.

Многогранник — это пространственная фигура, ограниченная только многоугольными гранями. Типичные примеры — призмы, пирамиды и усечённые пирамиды. Зная форму основания, можно выразить количество граней, рёбер и вершин формулами, что упрощает задачи на подсчёт.

Правильный многогранник — это многогранник, все грани которого являются равными правильными многоугольниками, а в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Существует только пять видов. Их различают по форме граней и числу граней, сходящихся в одной вершине. Они часто встречаются в задачах на развёртки.

Тело вращения образуется при вращении плоской фигуры вокруг прямой на 1 полный оборот. К таким телам относятся цилиндр, конус, усечённый конус и шар. В задачах часто встречается свойство: сечение плоскостью, содержащей ось вращения, является фигурой с осевой симметрией, а сечение плоскостью, перпендикулярной этой оси, является кругом.

Площадь поверхности призмы или цилиндра равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности, а объём равен произведению площади основания и высоты. Развёртка боковой поверхности цилиндра представляет собой прямоугольник, ширина которого равна длине окружности основания, что позволяет легко вычислить площадь поверхности.

Площадь поверхности пирамиды или конуса равна сумме площадей основания и боковой поверхности, а объём составляет 1/3 объёма призмы или цилиндра с такой же площадью основания и высотой. Развёртка боковой поверхности конуса представляет собой сектор круга, поэтому площадь поверхности можно найти с помощью формулы площади сектора.

Площадь поверхности шара радиуса r равна 4πr², а его объём равен 4/3πr³. Объёмы конуса, шара и цилиндра с одинаковыми радиусами оснований и высотами относятся как 1:2:3, поэтому эти формулы можно запомнить, связав их с объёмами конуса и цилиндра.

Мера центральной тенденции выражает характеристики всего набора данных одним числом. К таким мерам относятся среднее арифметическое, медиана и мода. Подходящую меру следует выбирать в зависимости от того, есть ли в данных крайние значения и являются ли данные количественными.

В диаграмме «стебель и листья» значения данных разделяют на стебли и листья, а листья каждого стебля располагают в порядке возрастания. Она позволяет видеть исходные значения данных и форму их распределения.

Таблица распределения частот группирует данные по интервалам одинаковой ширины и показывает частоту каждого интервала, то есть количество значений данных, попавших в него. Чтобы решать задачи, связанные с гистограммами и относительными частотами, необходимо точно понимать, что такое интервал, ширина интервала и частота.

Гистограмма — это график из примыкающих друг к другу прямоугольников, ширина которых равна ширине интервалов из таблицы распределения частот, а высота — соответствующим частотам. Площадь каждого прямоугольника прямо пропорциональна частоте, поэтому часто используют равенство отношения площадей и отношения частот.