Менің карталарым карталар

Жай сан — 1 санынан үлкен, бөлгіштері тек 1 және өзі болатын натурал сан, ал құрама санның кемінде 3 бөлгіші болады. 1 санының жай сан да, құрама сан да емес екенін білу жай көбейткіштерге жіктеу мен бөлгіштерге қатысты есептерді дұрыс шешуге кірісуге көмектеседі.

Дәреже — бірдей сандардың немесе әріптердің көбейтіндісін негізі мен көрсеткіші арқылы қысқаша жазу тәсілі. Ол жай көбейткіштерге жіктеу нәтижесін қысқаша жазу үшін қажет. Дәреже көрсеткіші көбейткіштердің санын бірден көрсететіндіктен, есептеу жеңілдейді.

Жай көбейткіштерге жіктеу дегеніміз — 1 санынан үлкен натурал санды тек жай көбейткіштердің көбейтіндісі түрінде өрнектеу. Көбейту ретін есепке алмаса, жіктеу нәтижесі біреу ғана болады. Сондықтан ол бөлгіштерді, натурал сандардың квадраттарын, ең үлкен ортақ бөлгішті және ең кіші ортақ еселікті табудың негізі болады.

Ең үлкен ортақ бөлгіш — екі немесе одан да көп натурал санның ортақ бөлгіштерінің ең үлкені. Барлық ортақ бөлгіштер ең үлкен ортақ бөлгіштің бөлгіштері болады. Сандарды жай көбейткіштерге жіктегеннен кейін ортақ жай көбейткіштердің әрқайсысын кіші дәреже көрсеткішімен алып, көбейтеді. Сондықтан бұл тәсіл тең бөлісу есептерінде жиі қолданылады.

Ең кіші ортақ еселік — екі немесе одан да көп натурал санның ортақ еселіктерінің ішіндегі ең кіші сан, ал барлық ортақ еселіктер ең кіші ортақ еселіктің еселіктері болады. Сандарды жай көбейткіштерге жіктегеннен кейін әрбір жай көбейткіштің үлкен дәреже көрсеткішін таңдап, барлығын көбейту керек, сондықтан бұл тәсіл бір мезгілде жолға шығу есептерінде жиі қолданылады.

Оң бүтін сандар, 0 және теріс бүтін сандар бірге бүтін сандар деп аталады. Рационал сандар — алымы мен бөлімі бүтін сандар болатын бөлшек түрінде өрнектеуге болатын сандар. Сандардың жіктелуін білсеңіз, берілген сандардың ішінен бүтін сандарды немесе бүтін емес рационал сандарды таңдау есептерін дұрыс шығара аласыз.

Сан түзуінде 0 санақ басы ретінде таңдалып, оң сандар оң жаққа, ал теріс сандар сол жаққа бірдей аралықтармен сәйкестендіріледі. Әрбір рационал санды нүкте арқылы көрсетуге болатындықтан, сан түзуі сандарды салыстыруға және олардың модульдерін көрнекі түрде анықтауға көмектеседі.

Санның модулі — сан түзуінде сол санды бейнелейтін нүкте мен санақ басының арасындағы қашықтық. Қашықтық болғандықтан, ол әрқашан 0 мәнінен үлкен немесе оған тең. Модульдері бірдей сандар санақ басының екі жағында бірдей қашықтықта орналасқан екі сан болатыны есептерде жиі қолданылады.

Сан түзуінде оң жақта орналасқан сан үлкен болады. Оң санның модулі неғұрлым үлкен болса, сан соғұрлым үлкен болады, ал теріс санның модулі неғұрлым үлкен болса, сан соғұрлым кіші болады. Мұны аралықтарды теңсіздік белгілерімен өрнектеумен бірге үйренсеңіз, берілген шарттарды қанағаттандыратын бүтін сандарды санауға арналған есептерді оңай шығара аласыз.

Таңбалары бірдей екі санды қосқанда, олардың модульдерінің қосындысына ортақ таңбасын қояды. Таңбалары әртүрлі екі санды қосқанда, олардың модульдерінің айырмасына модулі үлкен санның таңбасын қояды. Азайтқыштың таңбасын өзгерту арқылы азайтуды қосуға айналдыруға болады, сондықтан ауыстырымдылық және терімділік қасиеттерін пайдаланып, есептеулерді топтастыруға болады.

Таңбалары бірдей екі санның көбейтіндісі мен бөліндісі оң, ал таңбалары әртүрлі екі санның көбейтіндісі мен бөліндісі теріс болады. Бөлу кері санға көбейтумен алмастырылып есептеледі. Дәрежелер, жақшалар және төрт арифметикалық амал араласқан өрнектің дұрыс мәнін алу үшін амалдардың орындалу ретін сақтау керек.

Әріпті өрнекте мәндері анықталмаған шамалар әріптермен белгіленіп, олардың арасындағы қатынастар өрнек түрінде беріледі. Көбейту және бөлу таңбаларын жазбау ережелерін меңгерсеңіз, жылдамдық, концентрация және баға сияқты қолданбалы есептердің өрнектерін ықшам түрде жаза аласыз.

Өрнектің мәні оның әріптерінің орнына берілген сандарды қойып есептеу арқылы табылады. Теріс санды қойғанда таңбаға қатысты қателерді болдырмау үшін міндетті түрде жақша қолдану керек. Осы алмастыру тәсілі теңдеудің шешімін тексеру үшін де қолданылады.

Мүше, тұрақты мүше, коэффициент және дәреже ұғымдарын біліңіз. Бір немесе бірнеше мүшенің қосындысынан тұратын өрнек көпмүше деп аталады. Ең жоғары дәрежелі мүшесінің дәрежесі 1 болатын көпмүше сызықтық өрнек деп аталады және сызықтық теңдеулерді құру мен шешуге негіз болады.

Ұқсас қосылғыштардың әріптері және сәйкес әріптердің дәрежелері бірдей болады. Тұрақты қосылғыштар да өзара ұқсас қосылғыштар болады. Тек ұқсас қосылғыштардың коэффициенттерін қосу немесе азайту арқылы оларды бір қосылғышқа біріктіруге болады, сондықтан ұқсас қосылғыштарды біріктіру өрнектерді ықшамдайтын барлық есептеулердің негізі болып табылады.

Сызықтық өрнектерді қосу және азайту үшін үлестірімділік заңымен жақшаларды ашып, ұқсас мүшелерді біріктіреді. Жақшаның алдында теріс сан тұрса, жақша ішіндегі барлық мүшенің таңбасы өзгереді. Қателер ең жиі осы жерде кездеседі.

Теңдеу — белгісіздің мәніне қарай ақиқат немесе жалған болатын теңдік, ал тепе-теңдік — белгісіздің кез келген мәнінде әрқашан ақиқат болатын теңдік. Шарттарды анықтауға арналған есептерде сол және оң жақтары ықшамдалғаннан кейін бірдей болса, теңдіктің тепе-теңдік болатыны жиі қолданылады.

Теңдіктің екі жағына бірдей санды қосқанда, екі жағынан бірдей санды азайтқанда, екі жағын бірдей санға көбейткенде немесе екі жағын 0 мәніне тең емес бірдей санға бөлгенде теңдік сақталады. Осы қасиеттер теңдеуді x=(сан) түріне келтіруге мүмкіндік береді және коэффициенттерді бүтін сандарға айналдыруға негіз болады.

Мүшелерді тасымалдау кезінде теңдіктің қасиеттерін пайдаланып, бір жақтағы мүшені таңбасын өзгерте отырып екінші жаққа көшіреді. Айнымалысы бар мүшелерді сол жаққа, ал тұрақты мүшелерді оң жаққа жинаса, сызықтық теңдеуді ax=b түріне тез келтіруге болады.

일차방정식은 모든 항을 좌변으로 이항해 정리했을 때 (일차식)=0 꼴이 되는 방정식이에요. 괄호를 풀고 이항해 ax=b 꼴로 만든 뒤 양변을 a로 나누면 해를 구할 수 있어요.

Сызықтық теңдеуді қолдану дегеніміз — ізделетін шаманы белгісіз ретінде алып, есептің шарттары бойынша теңдеу құру және оны шешу. Соңында табылған шешімнің заттар саны немесе жас сияқты натурал сан болуы керек пе екенін және есептің шартына сәйкес келетінін міндетті түрде тексеру қажет.

Координаталық жазықтық координаталар басында перпендикуляр қиылысатын x және y осьтерінен тұрады. Ондағы нүкте реттелген жұппен (x координатасы, y координатасы) көрсетіледі. Реті өзгерсе, басқа нүкте шығады, сондықтан координаталарды оқығанда және жазғанда олардың ретін дәл сақтау керек.

Координаталық осьтер координаталық жазықтықты төрт бөлікке бөледі. Жоғарғы оң жақ бөліктен бастап сағат тіліне қарсы бағытта олар 1, 2, 3, 4 ширектер деп аталады. Координаталық осьтердегі нүктелердің ешбір ширекке жатпайтыны есептерде жиі кездеседі.

График екі айнымалының арасындағы байланысты реттелген жұптар түрінде құрып, координаталық жазықтықта нүктелер немесе сызықтар арқылы көрсетеді. Мектеп емтихандарында өсу, кему және өзгеріссіз қалу аралықтарын графиктен анықтап, нақты жағдайларды түсіндіруге арналған есептер жиі кездеседі.

Тура пропорционалдық — x мәні 2 есе, 3 есе артқанда, y мәні де тиісінше 2 есе, 3 есе артатын тәуелділік. Ол y=ax түрінде өрнектеледі. Графигі координаталар басы арқылы өтетін түзу болады: a>0 болса, оңға қарай жоғары, ал a<0 болса, оңға қарай төмен бағытталады.

Кері пропорционалдық — x мәні 2 есе, 3 есе артқанда, y мәні бастапқы мәнінің тиісінше 1/2 және 1/3 бөлігіне тең болатын тәуелділік. Ол y=a/x түрінде өрнектеледі. Графигі координаталық осьтерге жақындайтын бір жұп тегіс қисықтан тұрады, ал олардың орналасатын ширектері a таңбасына байланысты өзгереді.

Вертикаль бұрыштар — екі түзу бір нүктеде қиылысқанда пайда болатын төрт бұрыштың ішіндегі бір-біріне қарама-қарсы орналасқан екі бұрыш. Вертикаль бұрыштардың шамалары әрқашан тең, ал сыбайлас екі бұрыштың қосындысы 180° болады, сондықтан бұл қасиеттер қиылысқан түзулер арасындағы бұрыштарды табудың негізі болып табылады.

Сәйкес бұрыштар — бірдей салыстырмалы орында орналасқан екі бұрыш, ал ішкі айқыш бұрыштар — екі түзудің арасында, қиюшының қарама-қарсы жақтарында орналасқан екі бұрыш. Бұрыштардың орнын дұрыс анықтау параллель түзулердің қасиеттерін қолдануға мүмкіндік береді, сондықтан бұрыштарға берілген есептерді шешу осыдан басталады.

Екі параллель түзуді басқа бір түзу қиғанда, сәйкес бұрыштар мен ішкі айқыш бұрыштардың шамалары тиісінше тең болады. Керісінше, сәйкес бұрыштар немесе ішкі айқыш бұрыштар тең болса, екі түзу параллель болады. Сынық сызықтарға немесе қағазды бүктеуге қатысты бұрыш есептерінің барлығы осы қасиеттерге негізделеді.

Үшбұрыштың кез келген бір қабырғасының ұзындығы әрқашан қалған екі қабырғасының ұзындықтарының қосындысынан кіші болады. Үш кесіндіден үшбұрыш құрастыру үшін осы шарт орындалуы керек, сондықтан ол үшбұрышты салуда және қабырға ұзындығының мүмкін мәндерінің аралығын табу есептерінде қолданылады.

Үшбұрышты салу дегеніміз — тек бөлік белгілері жоқ сызғыш пен циркуль арқылы үшбұрыш салу. Үш қабырғасы, екі қабырғасы мен олардың арасындағы бұрышы немесе бір қабырғасы мен оның екі ұшындағы бұрыштары берілсе, үшбұрыш бірмәнді анықталады. Осы үш жағдай үшбұрыштардың теңдік белгілеріне тікелей сәйкес келеді.

Екі үшбұрыштың сәйкес үш қабырғасының ұзындықтары тең болса, немесе сәйкес екі қабырғасы мен олардың арасындағы бұрышы тең болса, немесе сәйкес бір қабырғасы мен оған іргелес екі бұрышы тең болса, үшбұрыштар тең болады. Тең фигуралардың сәйкес қабырғалары мен сәйкес бұрыштары тең болғандықтан, бұл ұзындықтар мен бұрыштарды табуға немесе дәлелдеуге негіз болады.

Көпбұрыш — бірнеше кесіндімен шектелген жазық фигура, ал диагональ — көршілес емес екі төбені қосатын кесінді. n-бұрыштың диагональдар санын формула арқылы бірден табуға болады, сондықтан оны диагональдар саны бойынша көпбұрышты анықтау есептерінде қолданады.

Үшбұрыштың үш ішкі бұрышының қосындысы 180°-қа тең, ал сыртқы бұрышы онымен сыбайлас емес екі ішкі бұрыштың қосындысына тең. Сыртқы бұрыштың қасиетін қолдану арқылы күрделі фигурадағы бұрыштарды бір үшбұрышқа келтіріп, олардың шамаларын тез табуға болады.

n-бұрыштың бір төбесінен диагональдар жүргізіп, оны (n-2) үшбұрышқа бөлуге болады, сондықтан оның ішкі бұрыштарының қосындысы 180°×(n-2) болады. Дұрыс көпбұрыштың бір ішкі бұрышының шамасын табу үшін осы мәнді n-ге бөлу керек.

Көпбұрыштың әр төбесіндегі ішкі және сыртқы бұрыштардың қосындысы 180° болғандықтан, жалпы қосындыдан ішкі бұрыштардың қосындысын азайтсақ, қабырғалар санына қарамастан сыртқы бұрыштардың қосындысы 360° болады. Бұл дұрыс көпбұрыштың бір сыртқы бұрышының шамасын немесе қабырғалар санын табудың ең жылдам тәсілі.

Доға, хорда, қиюшы, сектор және сегмент ұғымдарының мағынасын біліңіз. Бір дөңгелекте сектор доғасының ұзындығы мен ауданы центрлік бұрыштың шамасына тура пропорционал. Хорда ұзындығының центрлік бұрышқа тура пропорционал емес екені мектеп емтихандарындағы жаңылыстыратын тапсырмаларда жиі кездеседі.

Радиусы r, центрлік бұрышы x° болатын сектордың доға ұзындығы мен ауданы тиісінше шеңбер ұзындығы мен дөңгелек ауданын x/360 шамасына көбейту арқылы табылады. Ауданды тек радиус пен доға ұзындығы арқылы да табуға болады, бұл конустың бүйір бетінің ауданын есептеуде де қолданылады.

Көпжақ — тек көпбұрышты жақтармен шектелген кеңістік фигурасы. Призма, пирамида және қиық пирамида — оның негізгі мысалдары. Табанының пішінін білсеңіз, жақтарының, қырларының және төбелерінің санын формулалармен өрнектеуге болады. Бұл санауға арналған есептерді жеңілдетеді.

Дұрыс көпжақ — барлық жақтары өзара тең дұрыс көпбұрыштар болатын және әр төбеде тоғысатын жақтар саны бірдей көпжақ. Оның тек бес түрі бар. Түрлері жақтарының пішіні мен бір төбеде тоғысатын жақтар саны бойынша ажыратылады және олар жазбаларға қатысты есептерде жиі кездеседі.

Айналу денесі жазық фигураны бір түзудің айналасында 1 рет толық айналдырғанда пайда болады. Оларға цилиндр, конус, қиық конус және шар жатады. Айналу осін қамтитын жазықтықпен қиғанда осьтік симметриялы фигура, ал оське перпендикуляр жазықтықпен қиғанда дөңгелек пайда болатыны есептерде жиі кездеседі.

Призманың немесе цилиндрдің бетінің ауданы екі табанының аудандары мен бүйір бетінің ауданының қосындысына, ал көлемі табан ауданы мен биіктігінің көбейтіндісіне тең. Цилиндрдің бүйір бетін жазғанда ені табан шеңберінің ұзындығына тең тіктөртбұрыш пайда болады, сондықтан бетінің ауданын оңай есептеуге болады.

Пирамида немесе конустың толық бетінің ауданы табанының ауданы мен бүйір бетінің ауданының қосындысына тең, ал көлемі табанының ауданы мен биіктігі бірдей призма немесе цилиндр көлемінің 1/3 бөлігіне тең. Конустың бүйір бетінің жазбасы дөңгелек секторы болғандықтан, сектор ауданының формуласын қолданып, толық бетінің ауданын табуға болады.

Радиусы r болатын шар бетінің ауданы 4πr², ал көлемі 4/3πr³ болады. Табан радиустары мен биіктіктері бірдей конустың, шардың және цилиндрдің көлемдерінің қатынасы 1:2:3 болғандықтан, бұл формулаларды конус пен цилиндрдің көлемдерімен байланыстырып есте сақтауға болады.

Орталық тенденция көрсеткіші барлық деректердің ерекшеліктерін бір санмен сипаттайды. Оларға арифметикалық орта, медиана және мода жатады. Деректерде шеткі мәндердің бар-жоғына және деректердің сандық болуына қарай сәйкес көрсеткішті таңдау керек.

Сабақ-жапырақ диаграммасында деректердің мәндері сабақтар мен жапырақтарға бөлініп, бір сабақтың жапырақтары өсу ретімен орналасады. Ол деректердің бастапқы мәндерін сақтай отырып, таралу пішінін де көруге мүмкіндік береді.

Жиіліктердің үлестірім кестесі деректерді ені бірдей интервалдарға бөліп, әр интервалға кіретін деректер саны болып табылатын жиілікті көрсетеді. Гистограмма мен салыстырмалы жиілікке қатысты есептерді шығару үшін интервал, интервал ені және жиілік ұғымдарының мағынасын дәл білу қажет.

Гистограмма — жиіліктер үлестірімі кестесіндегі интервалдардың енін тіктөртбұрыштардың ені, ал жиіліктерді олардың биіктігі ретінде алып, тіктөртбұрыштарды бір-біріне жанастырып салған график. Әр тіктөртбұрыштың ауданы жиілікке тура пропорционал болғандықтан, аудандар қатынасының жиіліктер қатынасына тең екені жиі қолданылады.