わたしのカードカード

素因数分解した各素因数の指数にそれぞれ1を足し、すべて掛けると約数の個数が求められる方法です。約数を一つずつ並べる必要がないので、大きな数の約数の個数や、約数の個数が指定された数を求める問題を素早く解けます。

素因数分解した後、指数が奇数の素因数だけをもう一つずつ掛けて、すべての指数を偶数にそろえる方法です。ある数に掛けたり、ある数を割ったりして平方数にするための最小の数を、一度の計算で求められます。

二つの自然数の積は、最大公約数と最小公倍数の積に等しいという関係を使う方法です。三つの値のうち二つが分かれば、残りの一つを一回の割り算で求められるので、条件から逆に数を求める問題で特に便利です。

いくつかの数で割ったときの余りがすべて同じなら、求める数からその余りを引いた値が公倍数になることを使うコツです。最小公倍数に余りを足すだけなので、余りの条件がある問題を一つの式で解くことができます。

二つの分数を通分したあと、分母と分子に同じ数を掛けて分母を大きくすると、その間にある分数が見つかるというコツです。二つの数の間にある分数や整数ではない有理数を求める問題で、必要な個数だけ簡単に作れます。

二つの数の差の絶対値を、数直線上の二点間の距離に置き換えて読む方法です。絶対値を含む条件を扱うときや、ある点から等しい距離にある数を探すときに、図からすぐに答えがわかるので、間違いを減らせます。

乗法と除法だけの式では、負の数の個数が偶数なら正、奇数なら負と、先に符号を決めるのがコツです。符号を決めてから絶対値だけを計算すればよいので、複数の数の積や累乗の計算で符号のミスが大きく減ります。

距離・速さ・時間の問題で、それぞれの状況を表の一行にまとめ、空欄を未知数を使って埋める方法です。表を埋めると、等しい距離や時間が一目で分かり、どの量を使って等式を立てるかすぐに決められます。

濃度の問題で、濃度の代わりに食塩の量を基準として、混ぜる前と混ぜた後が等しいという等式を立てるコツです。水を加えたり蒸発させたりしても食塩の量は変わらないので、複雑な濃度の問題も一行の一次方程式に整理できます。

方程式の解が与えられたら、その値をxに代入して未知の定数についての式に変えるコツです。解が同じ二つの方程式や、定数が含まれる方程式の問題を、一度の代入で簡単な計算問題に変えられます。

係数に小数や分数があるときは、両辺に10の累乗や分母の最小公倍数を掛けて、整数の係数に直すのがコツです。分数の計算を避けられるので計算が短くなり、括弧を外すときの符号の間違いも減ります。

ax=bの形に整理した後、aが0かどうか、a=0ならbが0かどうかで解の個数を判別するコツです。解がない、または無数にある条件を問う問題で場合分けを漏れなく行えるため、ひっかけ問題を避けられます。

仕事の量が与えられていない問題で、仕事全体を1とおき、一日にする仕事の量を分数で表すコツです。何人かで一緒に行ったり、分担したりする場合も、一日にする仕事の量を足すだけなので、式を立てやすくなります。

何年たっても、何年さかのぼっても、二人の年齢差は変わらないという性質を使う方法です。未知数を一つだけ置いて二人の年齢を表せるので、年齢の問題の式が簡単になります。

x軸対称はy座標、y軸対称はx座標、原点対称は両方の座標の符号を変えればよいというコツです。図を描かなくても対称な点の座標をすぐ書けるので、対称点で作った図形の問題が速く解けます。

座標平面上の三角形を軸に平行な長方形で囲み、外側の直角三角形の面積を引いて面積を求める方法です。底辺と高さが軸に平行でない三角形でも、座標の差だけで面積を求められます。

点のx座標とy座標の符号だけを見て、どの象限にあるかを決める方法です。文字で表された点の位置を尋ねる問題では、ab>0、a+b<0のような条件から先に符号を決めると、象限がすぐに分かります。

時間-距離グラフでは、線の傾きが急なほど同じ時間により長い距離を進んでいるので、速いと読み取るのがコツです。二人のグラフを比べたり、区間ごとに速さが変わる状況を、数値の計算をせずにまず判断したりできます。

グラフが通る点一つの座標をy=axやy=a/xに代入してaを求めるコツです。比例ではyをxで割り、反比例ではxとyを掛ければよいので、グラフ上のほかの点もそのまま続けて求められます。

反比例のグラフ上の点から二つの軸に垂線を引いてできる長方形の面積が、常にaの絶対値になることを使う方法です。点の位置が変わっても面積は同じなので、面積の条件からaを求めたり三角形の面積を求めたりするとき、計算がほとんど不要になります。

分針は1分に6°、時針は1分に0.5°ずつ回ります。12時間周期で計算した二つの針の角度の差dと360°-dのうち小さい値を選ぶと、二つの針の間の小さい方の角を求められます。

折れ曲がった点ごとに、与えられた平行線と平行な補助線を引き、角を錯角や同位角に分けるコツです。折れ曲がった角が二つの錯角の和に分かれるので、初めて見る形の平行線の問題にもそのまま使えます。

二本の平行線の間にジグザグに折れ曲がった線があるとき、左に折れた角の和と右に折れた角の和が等しいというコツです。補助線を何度も引かなくても、折れ曲がる角の問題を一つの式ですぐに解けます。

紙を折ると、折り目を基準に重なる二つの角の大きさが等しくなることを使うコツです。長方形の紙を折る問題で錯角と合わせて使うと、二等辺三角形が見えてきて、隠れた角を簡単に求められます。

三本の線分で三角形を作れるかを調べるとき、最も長い辺が残りの二辺の和より小さいかだけを確認するコツです。三つの不等式をすべて調べる必要がないので、長さに文字が含まれる問題でも素早く範囲を定められます。

等しいと与えられた辺と角がどこにあるかを見て、SSS、SAS、ASAの中から適切な合同条件を選ぶコツです。角が二辺の間に挟まれているか、辺が二角の間にあるかを確認するだけで、合同を証明する根拠を素早く見つけられます。

n角形の一つの頂点から、その頂点自身と隣り合う二つの頂点を除いたn-3本の対角線を引き、二重に数えた分を2で割る方法です。対角線の本数から多角形を求める逆問題や、握手・総当たり戦などの数え上げ問題にもそのまま使えます。

三角形の一つの外角は、それと隣り合わない二つの内角の和に等しいという性質を使って、星形の五つの頂角を一つの三角形の中に集めるコツです。五つの角の和は常に 180°になるので、星形の角の問題をすぐに解けます。

多角形の外角の和は常に360°なので、正n角形の一つの外角が360°/nであることを使うコツです。内角の和の公式よりも計算が簡単なので、一つの内角や外角の大きさから正多角形を求めるときには、ずっと速く求められます。

おうぎ形の弧の長さと面積は、円周と円の面積に中心角の割合を掛けて求めるのがコツです。中心角に比例する性質を使えば、一つの比例式で弧の長さ、面積、中心角のうち未知の値を求められます。

扇形の面積を、中心角を使わずに半径と弧の長さだけで求めるコツです。三角形の面積のように、半径と弧の長さを掛けて半分にすればよいので、円錐の側面積を求めるときにも計算が短くなります。

凸多面体では、頂点の個数から辺の個数を引き、面の個数を足すと2になります。この条件に当てはまる多面体では、三つの個数のうち二つから残りを求めたり、検算したりできます。

立体図形を展開図にして、側面を長方形や扇形として考え、底面の面積と足す方法です。円柱の側面は底面の円周を横の長さとする長方形、円錐の側面は扇形になるので、漏れなく表面積を求められます。

底面積と高さが同じ柱体の体積を先に求め、3で割って錐体の体積を求めるコツです。角錐と円錐はどちらも同じ原理なので、切り取った立体や錐台の体積も柱体と錐体の差で簡単に計算できます。

資料の個数が偶数のとき、大きさの順に並べて中央の二つの値の平均を中央値とする方法です。未知数を含む資料の中央値の問題では、中央の二つの値が何かを先に決めると、間違いが減ります。

データに非常に大きい値や小さい値があるときは、平均値の代わりに中央値を代表値として使います。平均値は極端な値に大きく左右されますが、中央値はほとんど変わらないため、データの中心をよりよく表します。

幹と葉の図では葉が大きさの順に並んでいるので、上や下から葉を数えると順位を読み取れます。資料を並べ直さなくても、大きい方から何番目かの値や、特定の値以上の個数を直接求められます。

度数分布表やヒストグラムで消された度数は、全体の度数からわかっている度数を引いて求めます。割合の条件も与えられている場合は、欠けた度数を未知数として一次方程式に整理すると、二つの値をまとめて求められます。

ヒストグラムの長方形の面積の合計は、階級の幅と度数の総和を掛けたものに等しいというコツです。度数分布多角形と横軸で囲まれた面積もこれと等しいので、面積を問う問題を一回の掛け算で解くことができます。

ある階級の度数と相対度数がわかれば、度数を相対度数で割って全体の度数を逆算できます。先に全体の度数を求めておけば、破れた表や一部しか見えないグラフでも、ほかの階級の度数をすべて求められます。

全体の度数が異なる二つの集団は、度数をそのまま比較せず、相対度数に変えて比較するのがコツです。人数が異なる二つのクラスの割合や分布を公平に比較できるので、グラフの読み取り問題の落とし穴を避けられます。

分数を既約分数に直したあと、分母を素因数分解して2と5以外の素因数があるかだけを調べる判定法です。実際に割り算をしなくても有限小数かどうかがすぐにわかり、かける数の最小値を求める問題に特に役立ちます。

循環小数を分数に直すとき、分母に循環節の数字の個数だけ9を、小数点以下の循環しない数字の個数だけ0を書く方法です。式を立てて引く手順なしで直接分数に直せるので、時間とミスを減らせます。

底が違って見える累乗を、4を2の平方と見るなどして、同じ底に変える方法です。底が同じになれば指数だけを比較すればよいので、未知数が指数にある式も簡単に解けます。

2の累乗と5の累乗の積で、2と5を一組ずつまとめて10の累乗を作る方法です。残った数と10の指数を見るだけで、大きな数の桁数を計算せずに数えられます。

累乗の一の位の数字が一定の周期で繰り返されることを利用するコツです。指数を周期で割った余りを見るだけで、とても大きな累乗の一の位もすぐに求められます。

式の値を求めるとき、すぐに数を代入せず、先に同類項をまとめて式を簡単にする習慣です。代入する項が減り、分数や負の数の計算で生じるミスを大きく減らせます。

ある式からAを引くべきところを誤って足した結果が与えられたら、その結果からAを引いて、まず元の式を取り戻す方法です。元の式を求めてから正しく計算すればよいので、問題の構造が単純になります。