わたしのカードカード

素数は1より大きい自然数のうち、約数が1と自分自身だけの数で、合成数は約数が3個以上ある数です。1は素数でも合成数でもないことを知っておくと、素因数分解や約数の問題に正確に取り組めます。

累乗は、同じ数や文字を何度も掛けたものを底と指数で簡潔に表したものです。素因数分解の結果を短く書くために欠かせず、掛けた回数を指数からすぐに読み取れるので、計算が便利になります。

素因数分解とは、1より大きい自然数を素因数だけの積で表すことです。素因数分解の結果は、かける順序を除けば一通りだけなので、約数、平方数、最大公約数と最小公倍数を求める出発点になります。

最大公約数は二つ以上の自然数の公約数のうち、最も大きい数で、公約数はすべて最大公約数の約数です。素因数分解したあと、共通する素因数の指数が小さいほうを選んで掛け合わせればよいので、等しく分ける問題によく使います。

最小公倍数は、二つ以上の自然数の公倍数のうち最も小さい数で、公倍数はすべて最小公倍数の倍数です。素因数分解した後、すべての素因数について指数が大きい方を選んで掛け合わせればよいので、同時に出発する問題でよく使います。

整数は正の整数、0、負の整数をまとめた呼び名で、有理数は分子と分母が整数である分数で表せる数です。数の分類がわかると、与えられた数の中から整数や整数でない有理数を選ぶ問題を正確に解けます。

数直線は、直線上に基準点0を定め、右側に正の数、左側に負の数を等間隔に対応させたものです。すべての有理数を点で表せるので、数の大小比較や絶対値を目で確認するときに役立ちます。

絶対値は、数直線上である数を表す点と原点との間の距離です。距離なので常に0以上であり、絶対値が等しい数は原点から両側に等しい距離にある二つの数であるという点が、問題でよく使われます。

数直線上で右にある数ほど大きく、正の数は絶対値が大きいほど大きく、負の数は絶対値が大きいほど小さくなります。不等号で範囲を表す表現とあわせて学ぶと、条件に合う整数を数える問題を簡単に解くことができます。

符号が同じ二つの数の和は、絶対値の和に共通の符号を付け、符号が異なる二つの数の和は、絶対値の差に絶対値が大きい数の符号を付けます。引き算は引く数の符号を変えた足し算に直せるので、交換法則・結合法則を使って計算をまとめられます。

符号が同じ二つの数の積と商は正の数、符号が異なる二つの数の積と商は負の数になり、割り算は逆数の掛け算に変えて計算します。累乗、括弧、四則演算が混じった式では、計算の順序を守ることで正確な値が得られます。

文字を使った式は、値が決まっていない数量を文字で置き、関係を式で表したものです。乗法記号と除法記号を省略する規則を身につけると、速さ、濃度、価格などの応用問題の式を簡潔に書くことができます。

式の値は、文字に与えられた数を代入して計算した値です。負の数を代入するときは、必ず括弧を使うことで符号の間違いを防げます。この代入の手順は、方程式の解を確かめるときにもそのまま使われます。

項、定数項、係数、次数の意味を理解し、一つ以上の項の和でできた式を多項式といいます。次数が最も高い項の次数が1である多項式を一次式といい、一次方程式を立てて解くための基本的な材料になります。

同類項は文字と次数がそれぞれ同じ項で、定数項どうしも同類項です。同類項どうしだけ、係数を足したり引いたりして一つにまとめられるので、式を簡単に整理するすべての計算の基本になります。

一次式の加法と減法は、分配法則で括弧を外してから、同類項をまとめて計算します。括弧の前に負の数があると、括弧の中のすべての項の符号が変わるので、この部分で最も多くの間違いが起こります。

方程式は未知数の値によって真にも偽にもなる等式で、恒等式は未知数にどんな値を入れても常に真となる等式です。左辺と右辺を整理したときに同じになれば恒等式であるという点が、条件を求める問題によく出てきます。

等式の両辺に同じ数を足したり引いたり掛けたりしても、0でない同じ数で割っても等式は成り立ちます。この性質のおかげで方程式をx=(数)の形に変えることができ、係数を整数に変える根拠にもなります。

移項とは、等式の性質を利用して、一方の辺にある項を符号を変えて他方の辺に移すことです。文字を含む項は左辺、定数項は右辺に集めると、一次方程式をax=bの形に素早く整理できます。

일차방정식은 모든 항을 좌변으로 이항해 정리했을 때 (일차식)=0 꼴이 되는 방정식이에요. 괄호를 풀고 이항해 ax=b 꼴로 만든 뒤 양변을 a로 나누면 해를 구할 수 있어요.

一次方程式の活用とは、求めたい量を未知数とし、問題の条件から方程式を立てて解くことです。求めた解が、個数や年齢のように自然数である必要があるか、問題の状況に合っているかを、最後に必ず確認しましょう。

座標平面は原点で垂直に交わるx軸とy軸からなり、その上の点は順序対 (x座標, y座標)で表します。順序が変わると別の点になるので、座標を読み書きする順序を正確に守る必要があります。

座標平面は座標軸によって四つの部分に分けられ、右上から反時計回りに第1、2、3、4象限といいます。座標軸上の点はどの象限にも属さないという点が、問題によく出てきます。

グラフは、二つの変数の関係を順序対にして、座標平面上に点や線で表したものです。増加や減少、変化のない区間を読み取って実際の状況を解釈する問題が、内申に関わる試験によく出ます。

比例とは、xの値が2倍、3倍になると、yの値もそれぞれ2倍、3倍になる関係で、y=axと表します。グラフは原点を通る直線で、a>0なら右上がり、a<0なら右下がりになります。

反比例は、xの値が2倍、3倍に変わると、yの値が1/2倍、1/3倍に変わる関係で、y=a/xと表します。グラフは座標軸に近づく一対の滑らかな曲線で、aの符号によって位置する象限が変わります。

対頂角は、二直線が一点で交わるときにできる四つの角のうち、向かい合う二つの角です。対頂角の大きさは常に等しく、隣り合う二つの角の和は180°なので、交わる直線の角度を求めるときの基本になります。

同位角は互いに同じ位置にある二つの角で、錯角は二直線の間で互い違いの位置にある二つの角です。角の位置を正しく見つけることで平行線の性質を使えるため、角度の問題を解く出発点になります。

平行な二直線に別の直線が交わると、同位角と錯角の大きさはそれぞれ等しくなります。逆に、同位角または錯角が等しければ、二直線は平行です。折れ線や紙の折り返しなどに関する角度の問題は、いずれもこの性質に基づいています。

三角形では、どの一辺の長さも、他の二辺の長さの和より常に小さくなります。三つの線分で三角形を作るにはこの条件を満たす必要があるため、三角形の作図や辺の長さの範囲を求める問題で使います。

三角形の作図とは、目盛りのない定規とコンパスだけで三角形をかくことです。三辺、二辺とその間の角、一辺とその両端の角が与えられると、三角形は一つに定まります。この三つの場合が、そのまま三角形の合同条件につながります。

二つの三角形は、三辺の長さがそれぞれ等しいか、二辺とその間の角が等しいか、一辺とその両端の角が等しければ合同です。合同な図形では対応する辺と角が等しいので、長さや角を求めたり証明したりする根拠になります。

多角形は複数の線分で囲まれた平面図形で、対角線は隣り合わない二つの頂点を結ぶ線分です。n角形の対角線の本数は公式で直接求められるので、対角線の本数から多角形を特定する問題に使えます。

三角形の三つの内角の大きさの和は180°で、一つの外角の大きさは、それと隣り合わない二つの内角の大きさの和に等しくなります。外角の性質を使うと、複雑な図形の角も一つの三角形にまとめて、素早く求められます。

n角形は、一つの頂点から対角線を引くことで(n-2)個の三角形に分けられるので、内角の和は180°×(n-2)になります。正多角形では、この値をnで割ると一つの内角の大きさが求められます。

多角形の各頂点で内角と外角の和は180°なので、全体から内角の和を引くと、辺の数に関係なく外角の和は360°になります。正多角形の一つの外角の大きさや辺の数を求めるときに、最も手早く使える方法です。

円における弧、弦、割線、扇形、弓形の意味を学びます。同じ円では、扇形の弧の長さと面積は中心角の大きさに比例します。弦の長さは中心角に比例しないという点は、学校の定期試験のひっかけ問題でよく出題されます。

半径がr、中心角がx°のおうぎ形の弧の長さと面積は、それぞれ円周と円の面積にx/360を掛けた値です。面積は半径と弧の長さだけでも求められるので、円すいの側面積の計算にもつながります。

多面体は、多角形の面だけで囲まれた立体図形で、角柱、角錐、角錐台が代表的な例です。底面の形が分かれば、面、辺、頂点の数を式で表せるので、数を求める問題が解きやすくなります。

正多面体とは、すべての面が互いに合同な正多角形で、各頂点に集まる面の数が等しい多面体で、五種類しかありません。面の形と一つの頂点に集まる面の数によって種類を区別し、展開図の問題とともによく出題されます。

回転体は、平面図形を一本の直線を軸として1回転させたときにできる立体図形で、円柱、円錐、円錐台、球があります。回転軸を含む平面で切ると線対称な図形に、垂直な平面で切ると円になるという点がよく出てきます。

柱体の表面積は二つの底面積と側面積の和で、体積は底面積と高さの積です。円柱の側面を展開すると、横の長さが底面の周の長さに等しい長方形になるので、表面積を簡単に求められます。

錐体の表面積は底面積と側面積の和で、体積は底面積と高さが等しい柱体の体積の1/3です。円錐の側面の展開図は扇形なので、扇形の面積の公式と組み合わせると表面積を求められます。

半径がrの球の表面積は4πr²、体積は4/3πr³です。底面の半径と高さが同じ円錐、球、円柱の体積の比は1:2:3なので、円錐や円柱の体積と関連づけて覚えられます。

代表値はデータ全体の特徴を一つの数で表した値で、平均値、中央値、最頻値があります。データに極端な値があるか、数量データであるかに応じて、適切な代表値を選んで使う必要があります。

幹葉図は、データの値を幹と葉に分け、同じ幹の葉を値の小さい順に並べたものです。元のデータの値をそのまま確認でき、分布の形もわかります。

度数分布表は、データを一定の幅の階級に分け、各階級に入るデータの個数である度数を示した表です。ヒストグラムや相対度数に関する問題を解くには、階級、階級の幅、度数の意味を正確に理解する必要があります。

ヒストグラムは、度数分布表の階級の幅を横の長さ、度数を縦の長さとする長方形を隙間なく並べたグラフです。各長方形の面積は度数に正比例するため、面積の比がそのまま度数の比になることをよく利用します。